Question

已知數(shù)列A：a₁，a₂，…an，滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，…，n）．定義變換T：T將數(shù)列A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0．若A₀為0，1．A_k=T（A_k-1）（k=1，2，…）．
（1）若A_k中的0的個(gè)數(shù)為b_k，Sn=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．
（2）記A_k中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)對(duì)a_k，求a_k．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b₁=2，b2=22，b3=23，…，bn=2n．由此能求出S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（2）設(shè)A_k中有b_k個(gè)01數(shù)對(duì)，a_k+1=b_k，A_k+1中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到；②由A_k中00得到，從而得到bk+1=ak+2k，ak+2=ak+2k，a₁=a₂=1．當(dāng)k≥3時(shí)，分類討論能求出a_k．

解答： 解：（1）∵A₀={0，1}，
∴A₁={1，0，0，1}，b₁=2；
A₂={0，1，1，0，1，0，0，1}，b2=22；
A₃={1，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，1，0，0，1}，b3=23；
…，bn=2n．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2+2²+2³+…+2ⁿ
=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
（2）設(shè)A_k中有b_k個(gè)01數(shù)對(duì)，
A_k+1中的00數(shù)對(duì)只能由A_k中的01數(shù)對(duì)得到，∴a_k+1=b_k，
A_k+1中的01數(shù)對(duì)有兩個(gè)產(chǎn)生途徑：①由A_k中的1得到；②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個(gè)數(shù)總相等，且共有2^k+1個(gè)，
∴bk+1=ak+2k，
∴ak+2=ak+2k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
∴a₁=a₂=1；
當(dāng)k≥3時(shí)，
若k為偶數(shù)，ak=ak-2+2k-2，
ak-2=ak-4+2k-4，
…
a4=a2+22，
上述各式相加可得ak=1+22+24+…+2k-2
=

1-4 k-1 2

1-4

=

1

3

(2k-1)，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=2時(shí)，也滿足ak=

1

3

(2k-1)；
若k為奇數(shù)，ak=ak-2+2k-2，
ak-2=ak-4+2k-4，
…
a₃=a₁+2，
上述各式相加可得a_k=1+2+2³+…+2^k-2
=1+

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=

1

3

(2k+1)，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=1時(shí)，也滿足ak=

1

3

(2k+1)，
∴a_k=

1 3 (2k+1)，k為奇數(shù) 1 3 (2k-1)，k為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是難題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．