Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₆=a₅+2a₄，若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由：a₆=a₅+2a₄，解得q=2．即可得到通項(xiàng)公式an=a1•2n-1．由于存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁，可得

a 2 1 •2m-1•2n-1

=2a1，化為m+n=4．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵a₆=a₅+2a₄，∴a4•q2=a4•q+2a4，化為q²=q+2，解得q=2．
∴an=a1•2n-1．
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁，∴

a 2 1 •2m-1•2n-1

=2a1，化為2^m+n-2=2²，即m+n=4．
∴

1

m

+

4

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

4

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

4

(5+2

n m • 4m n

)=

9

4

，當(dāng)且僅當(dāng)n=3，m=1時(shí)，取得最小值．
故答案為：

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．