Question

（1）已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）已知實數(shù)m，n，l，x，y，z滿足m²+n²+l²=25，x²+y²+z²=36，mx+ny+lz=30，求表達式

m+n+l

x+y+z

的值．

Answer 1

考點：不等式的基本性質(zhì)

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由于關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集為R，可得|ax-1|+|ax-a|≥
|ax-1+a-ax|=|a-1|≥2（a＞0），解得a即可．
（2）利用“柯西不等式”即可得出．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥2（a＞0），此不等式的解集為R，
∴|ax-1|+|ax-a|≥|ax-1+a-ax|=|a-1|≥2（a＞0），解得a≥3，∴實數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．
（2）∵m²+n²+l²=25，x²+y²+z²=36，mx+ny+lz=30，25×36=30²，
（m²+n²+l²）（x²+y²+z²）≥（mx+ny+lz）²，
當且僅當

m

x

=

n

y

=

l

z

=

5

6

時上式成立．
∴

m+n+l

x+y+z

=

5

6

．

點評：本題考查了含絕對值的三角不等式、柯西不等式的性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題題．