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直線l：y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1有兩個不同的交點，
（1）求a的取值范圍；
（2）設交點為A，B，是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，若存在就求出直線l的方程，若不存在則說明理由．
（1）聯立方程組
3x2-y2=1
y=ax+1
，消去y，得：
（3-a）2x2-2ax-2=0，…（2分）
由題意方程有兩個實數根，
則
3-a2≠0
△=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)＞0
，…（3分）
解得-
6
＜a＜
6
，且a≠±
3
，
∴a的取值范圍是（-
6
，-
3
）∪（-
3
，
3
）∪（
3
，
6
）．…（5分）
（2）設交點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2=
2a
3-a2
，x1x2=
-2
3-a2
，…（6分）
由題意可得，OA⊥OB（O是坐標原點），
則有x1x2+y1y2=0，…（7分）
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0
于是得(a2+1)
-2
3-a2
+a•
2a
3-a2
+1=0
解得a=±1，且滿足（1）的條件，…（10分）
所以存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，
直線l的方程為y=x+1或y=-x+1．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

求經過點P（-1，-6）與拋物線C：x2=4y只有一個公共點的直線l方程．

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拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ面積的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若θ是任意實數，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　�。�
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

線段PQ是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1過M（1，0）的一動弦，且直線PQ與直線x=4交于點S，則
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當k變化時（k∈R），求點P的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直線l：y=
3
(x-4)關于直線l1：y=
b
a
x對稱的直線l′與x軸平行．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，求雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點O，其中一條準線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）（普通中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（重點中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，C是直線L1：y=mx+6上任一點（A、B、C三點不共線）試問：是否存在實數k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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