Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1）
（1）若函數(shù)g（x）的圖象在原點(diǎn)處的切線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若對于$?t∈[{0，\sqrt{e}-1}]$，總存在x₁，x₂∈（-1，4），且x₁≠x₂滿足f（x_i）=g（t）（i=1，2），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用判別式為0，解方程，可得k；
（2）分別求得f（x），g（x）的值域，由題意可得它們?yōu)榘�含關(guān)系，解不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）∵原函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
g′（x）=ln（x+1）+1，
則g（0）=0，g′（0）=1，
即有切線的方程為l：y=x，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x^2}+kx+1}\\{y=x}\end{array}}\right.⇒{x^2}+2（{k-1}）x+2=0$，
∵l與函數(shù)f（x）的圖象相切，
∴$△=4{（{k-1}）^2}-8=0⇒k=1±\sqrt{2}$．
（2）當(dāng)$x∈[{0，\sqrt{e}-1}]$時，g′（x）=ln（x+1）+1＞0，
∴g（x）=（x+1）ln（x+1）在區(qū)間$[{0，\sqrt{e}-1}]$上為增函數(shù)，
∴$0≤g（x）≤\frac{1}{2}\sqrt{e}$，∵$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+kx+1$的對稱軸為：x=-k，
∴為滿足題意，必須-1＜-k＜4，
此時$f{（x）_{min}}=f（-k）=1-\frac{1}{2}{k^2}$，f（x）的值恒小于f（-1）和f（4）中最大的一個．
對于$?t∈[{0，\sqrt{e}-1}]$，總存在x₁，x₂∈（-1，4），且x₁≠x₂滿足f（x_i）=g（t）（i=1，2），
∴$[{0，\frac{1}{2}\sqrt{e}}]⊆（{f{{（x）}_{min}}，min\left\{{f（{-1}），f（4）}\right\}}）$
$\begin{array}{l}∴\left\{{\begin{array}{l}{-1＜-k＜4}\\{f{{（x）}_{min}}＜0}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}＜f（4）}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}＜f（{-1}）}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-4＜k＜1}\\{1-\frac{1}{2}{k^2}＜0}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}＜4k+9}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}＜\frac{3}{2}-k}\end{array}}\right.\end{array}$，
∴$\frac{1}{8}\sqrt{e}-\frac{9}{4}＜k＜-\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，同時考查直線和拋物線相切的條件：判別式為0，注意任意和存在問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．