Question

20．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$，$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，?n∈N⁺，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，可得a_n=$\frac{2}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“裂項求和”，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．