【題目】已知半徑為的球面上有兩點,且,球心為,若是球面上的動點,且二面角的大小為,則四面體的外接球表面積為______.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門對100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為:在55名男性駕駛員中,平均車速超過100的有40人;在45名女性駕駛員中,平均車速不超過100的有25人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100的人與性別有關(guān).
平均車速超過100人數(shù) | 平均車速不超過100人數(shù) | 合計 | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計 |
(2)以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程.
(2)若對任意的恒成立,求的值.
(3)在(2)的條件下,記,證明:存在唯一的極大值點,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點為,拋物線上的點到準(zhǔn)線的最小距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過點作互相垂直的兩條直線,,與拋物線交于,兩點,與拋物線交于,兩點,,分別為弦,的中點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線相交于、兩點,求的面積.
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【題目】“愛國,是人世間最深層、最持久的情感,是一個人立德之源、立功之本!痹谥腥A民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中,愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技改造投入(億元)與科技改造直接收益(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
當(dāng)時,建立了與的兩個回歸模型:模型①:;模型②:;當(dāng)時,確定與滿足的線性回歸方程為:.
(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
182.4 | 79.2 |
(附:刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù),.)
(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大;
(附:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ;)
(3)科技改造后,“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率大幅提高,服從正態(tài)分布,公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發(fā)動機的熱效率不超過,不予獎勵;若發(fā)動機的熱效率超過但不超過,每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過,每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.
(附:隨機變量服從正態(tài)分布,則,.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點為,拋物線上的點到準(zhǔn)線的最小距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過點作互相垂直的兩條直線,,與拋物線交于,兩點,與拋物線交于,兩點,,分別為弦,的中點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進行調(diào)查.
(1)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的100名學(xué)生進行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)在抽取到的女生中按(1)中的選課情況進行分層抽樣,從中抽出9名女生,再從這9名女生中隨機抽取4人,設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
總計 |
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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