（2005•朝陽區(qū)一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）設(shè)|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．
分析：（Ⅰ）由
a
=（cosα，sinα），能求出|
a
|的值．
（Ⅱ）由（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0，能證明（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．
（Ⅲ）由|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，則
a
•
b
=0，能夠求出β-α=
π
2
．
解答：解：（I）解：|
a
|=
cos2α+sin2α
=1（3分）
（Ⅱ）證明：∵（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
∴8分）
（Ⅲ）解：∵
a
+
b
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
a
-
b
=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），（10分）
∴|
a
+
b
|=
(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2
=
1+1+2cos(β-α)
，（12分）
同理|
a
-
b
|=
(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2
=
2-2cos(β-α)

∵|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，∴2cos（β-α）=-2cos（β-α）
∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，∴0＜β-α＜π，∴β-α=
π
2
（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模的求法，求證：（
a
+
b
）與（
a
-
b
）互相垂直和求β-α的值．綜合性強(qiáng)，較繁瑣，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)恒等變換的靈活運(yùn)用．
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2
2
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