Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性．

(2)解關(guān)于t不等式f(x－t)＋f(x2－2t)≥0對一切實數(shù)x都成立．

Answer 1

【答案】(1) 增函數(shù)和奇函數(shù) (2)

【解析】

（1）利用奇偶性定義直接判斷，結(jié)合函數(shù)y＝ex是增函數(shù)，y＝－()x是增函數(shù)判斷單調(diào)性

（2）由（1）的結(jié)論轉(zhuǎn)化為f(x2－2t)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立，得x2－2t≥t－x對一切x∈R恒成立，分離參數(shù)求值域求解

(1)因為f(x)＝ex－()x，且y＝ex是增函數(shù)，

y＝－()x是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)．

由于f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)

(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，

所以f(x－t)＋f(x2－2t)≥0對一切x∈R恒成立f(x2－2t)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立x2－2t≥t－x對一切x∈R恒成立 故 令