Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（

3

sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡函數(shù)解析式，然后，求解周期即可；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接進行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ） 因為f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）
=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴f（x）的最小正周期π
因為x∈R，
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

．
所以f（x）的值域為[-

1

2

，

3

2

]．
（Ⅱ） 因為-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈z），
所以-

2π

3

+2kπ≤2x≤

π

3

+2kπ．
所以-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．
所以函數(shù)f（x的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z

點評：本題重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解函數(shù)的周期等知識，屬于中檔題．