Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，其中且．為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

（Ⅱ）當時，若函數(shù)存在三個零點，且，試證明：

；

（Ⅲ）是否存在負數(shù)，對，，都有成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）存在

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接利用導數(shù)可得單調(diào)區(qū)間和極小值；（Ⅱ）函數(shù)存在三個零點，表示極大值g（0）大于零而極小值g（）小于零，得到m的范圍，進而得到g（－1）和g（e）的范圍，由此得出a，b，c滿足的不等關(guān)系；（Ⅲ）由題意，，而，，∴，解出m的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）（且）．

∴由，得；由，得，且． 1分

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是． 2分

∴. 1分

（Ⅱ）．

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．

∵函數(shù)存在三個零點．

∴．

∴ 3分

由．

∴． 1分

綜上可知，，

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及可得：．

即，得證． 1分

（Ⅲ）由題意，只需

∵

由，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

∴． 2分

∵

由，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．

∴． 2分

∴ ，不等式兩邊同乘以負數(shù)，得．

∴，即．

由，解得．

綜上所述，存在這樣的負數(shù)滿足題意． 1分

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，極值，范圍問題，恒成立問題