Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，滿足a₃=4，S₇=35；T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，滿足：T_n=2b_n-2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

的前n項(xiàng)和R_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d，由已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由T_n=2b_n-2，得T_n-1=2b_n-1-2，兩式相減{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題設(shè)條件推導(dǎo)出c_n=2+

1

n

-

1

n+1

，由此利用列項(xiàng)求和法能求出cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

的前n項(xiàng)和R_n．

解答： （本題共12分）
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d，
∵a₃=4，S₇=35，
∴

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

，解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．…（2分）
∵T_n=2b_n-2，∴T_n-1=2b_n-1-2，（n≥2，n∈N*）
兩式相減得：b_n=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1且n=1也滿足，
∴{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
又∵b₁=2，∴bn=2n…（6分）
（2）∵cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

=

n+1

n+2

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+2

，…（9分）
∴R_n=2n+1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+2

=2n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

4n+3

2

-

2n+3

n2+3n+2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．