Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=b₁=1，a₂=3，且S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）（n≥2，n∈N^*），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，又b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=a_n，對任意n∈N^*都成立．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得到S_n+2+S_n=2（S_n+1+1），兩式作差求出a_n=2n-1．同樣的方法兩式作差得2^n-1b_n=a_n-a_n-1=2，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知條件推導(dǎo)出Tn=1+3+5×2-1+7×2-2+…+(2n-1)×22-n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），
∴S_n+2+S_n=2（S_n+1+1），
兩式作差得：a_n+2+a_n=2a_n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₂為3，公差為2，
∴a_n=3+2（n-2）=2n-1（n≥2），又a₁=1符合，
即a_n=2n-1（n≥1）…（4分）
∵b1+2b2+22b3+…+2n-2bn-1+2n-1bn=an，
∴b1+2b2+22b3+…+2n-3bn-2+2n-2bn-1=an-1，
兩式相減得：2^n-1b_n=a_n-a_n-1=2，
∴bn=22-n(n≥2)，
∵b₁=1不滿足，∴bn=

1， n=1 22-n， n≥2

…（6分）
（2）設(shè)Cn=an•bn=

1， n=1 (2n-1)•22-n， n≥2

，
∴Tn=1+3+5×2-1+7×2-2+…+(2n-1)×22-n，

1

2

Tn=

1

2

+3×2-1+5×2-2+7×2-3+…+(2n-1)×21-n，
兩式作差得：

1

2

Tn=

7

2

+2×(2-1+2-2+…+22-n)-(2n-1)×21-n
=

7

2

+2×

2-1(1- 1 2n-2 )

1- 1 2

-(2n-1)×21-n=

11

2

-(2n+3)×21-n，
∴Tn=11-(2n+3)×22-n…．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意作差相減法的合理運(yùn)用．