Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示，點E、F分別為棱PC、CD的中點．
（1）求證：平面OEF∥平面APD；
（2）求證：CD⊥平面POF；
（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱錐E-CFO的體積．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明平面OEF∥平面APD，只需證明OE∥平面PAD，OF∥平面PAD；
（2）證明CD⊥平面POF，只需證明OF⊥CD，PO⊥CD；
（3）求出以S△CFO=

1

4

S△ACD=

3

2

，E到平面CFO的距離為

5

4

3

，利用體積公式，即可求三棱錐E-CFO的體積．

解答： （1）證明：因為點P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC                …（1分）
因為AB=BC，
所以O(shè)是AC中點，…（2分）
所以O(shè)E∥PA，
因為PA?平面PAD
所以O(shè)E∥平面PAD…（3分）
同理OF∥平面PAD
又OE∩OF=O，OE、OF?平面OEF
所以平面OEF∥平面APD；                            …（5分）
（2）證明：因為OF∥AD，AD⊥CD
所以O(shè)F⊥CD
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC
所以PO⊥CD                                      …（7分）
又OF∩PO=O
所以CD⊥平面POF；                                …（8分）
（3）解：因為∠ADC=90°，AD=3，CD=4，
所以S△ACD=

1

2

×3×4=6，
而點O，E分別是AC，CD的中點，
所以S△CFO=

1

4

S△ACD=

3

2

，…（10分）
由題意可知△ACP為邊長為5的等邊三角形，
所以高OP=

5

2

3

，…（11分）
即P點到平面ACD的距離為

5

2

3

，
又E為PC的中點，所以E到平面CFO的距離為

5

4

3

，
故VE-CFO=

1

3

×

3

2

×

5

4

3

=

5

8

3

．…（12分）

點評：本題考查線面平行、面面平行，考查線面垂直，考查四棱錐E-CFO的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．