Question

（1）在曲線y=

x

上找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到直線x-4y+14=0的距離最短，求出最短距離及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求過點(diǎn)（-1，-1）且和曲線y=1+2x-x³相切的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由曲線y=

x

上點(diǎn)P的切線平行于x-4y+14=0，可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出最短距離；
（2）設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)直線過點(diǎn)（-1，-1）且和曲線y=1+2x-x³相切，建立方程，求出切點(diǎn)，即可求過點(diǎn)（-1，-1）且和曲線y=1+2x-x³相切的直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)P（m，n），則
∵y=

x

，∴y′=

1

2 x

，
由

1

2 m

=

1

4

，可得m=4，∴n=2，
此時(shí)P（4，2）到直線x-4y+14=0的距離最短，最短距離為d=

|4-8+14|

1+16

=

10 17

17

；
（2）設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），則2-3x02=

1+2x0-x03+1

x0+1

，
∴2x02(x0+

3

2

)=0，
∴x₀=0，或x₀=-

3

2

，
x₀=0，切線為y=2x+1；
x0=-

3

2

，切線為19x+4y+23=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．