【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）不需證明，直接寫出的奇偶性：

（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：

（Ⅲ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．

【答案】（Ⅰ）奇函數(shù)；（Ⅱ）在和上單調(diào)遞增；證明見解析；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）先計(jì)算出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性，簡(jiǎn)單判斷可得結(jié)果.

（Ⅱ）計(jì)算函數(shù)，可得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，然后利用零點(diǎn)存在性定理以及函數(shù)的奇偶性，可得結(jié)果.

（Ⅲ）簡(jiǎn)單判斷可知點(diǎn)在曲線上，計(jì)算直線的斜率以及曲線在點(diǎn)處切線的斜率和曲線在點(diǎn)處切線的斜率即可.

（Ⅰ）定義域?yàn)?/span>，函數(shù)為奇函數(shù)．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

由（Ⅰ）知，為奇函數(shù)，且

所以，在和上單調(diào)遞增．

在上，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，即．

又為奇函數(shù)，．

故在上有唯一零點(diǎn)．

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，故點(diǎn)在曲線上．

由題設(shè)知即，連接，

則直線的斜率

曲線在點(diǎn)處切線的斜率是；

曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是．

所以曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值集合；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國際排聯(lián)舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：）服從正態(tài)分布.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊(duì)和美國隊(duì)，中國隊(duì)積26分，美國隊(duì)積22分.第10輪中國隊(duì)對(duì)抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國隊(duì)取勝的概率為.

（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

（2）第10輪比賽中，記中國隊(duì)取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為p的值，解決下列問題.

（i）在第10輪比賽中，中國隊(duì)所得積分為X，求X的分布列；

（ii）已知第10輪美國隊(duì)積3分，判斷中國隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，中國隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，則，

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)搶紅包，現(xiàn)假設(shè)某人將688元發(fā)成手氣紅包50個(gè)，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如下：

金額分組

頻 數(shù)

3

9

17

11

8

2

（1）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

（2）估計(jì)手氣紅包金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

（3）在這50個(gè)紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．

①若紅包金額在區(qū)間內(nèi)為最佳運(yùn)氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率；

②隨機(jī)抽取手氣紅包金額在內(nèi)的兩名幸運(yùn)者，設(shè)其手氣金額分別為，，求事件“”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，為兩兩不重合的平面，，，為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：

①若，，則；

②若，，，，則；

③若，，則；

④若，，，，則.

其中真命題是（ ）

A.①③B.②④C.③④D.①②

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在 上無零點(diǎn)，求a的最小值；

（Ⅲ）若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時(shí)且最大面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線：與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.

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