【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、,為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)射線與橢圓交于點(diǎn),過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn),求的面積的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由橢圓的離心率為可得出,再由的面積最大值為可求得的值,進(jìn)而可得出的值,由此可求得橢圓的方程;
(Ⅱ)求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,求得點(diǎn)的坐標(biāo),同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),可求得直線的斜率為,然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、三角形的面積公式以及基本不等式可求得的面積的最大值.
(Ⅰ)橢圓的離心率為,可得,
由題意可得的面積的最大值為,可得,,
因此,橢圓的方程為;
(Ⅱ)聯(lián)立,解得,所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,即,
聯(lián)立,消去并整理得,
由韋達(dá)定理得,即,,
所以,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,
直線的斜率為,
設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立,消去得,
,可得,
由韋達(dá)定理得,,
由弦長(zhǎng)公式可得,
點(diǎn)到直線的距離,
所以,,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
因此,面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,四點(diǎn),,,中恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上,左、右焦點(diǎn)分別為、.
(1)求橢圓的方程;
(2)過左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于、兩點(diǎn),若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求的最小值.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)不需證明,直接寫出的奇偶性:
(Ⅱ)討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn):
(Ⅲ)設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
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【題目】如圖:在直三棱柱中,,,是棱上一點(diǎn),是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且平面.
(1)求證:;
(2)求二面角的正弦值;
(3)若點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成的角的正弦值為,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)相切.
(1)求函數(shù)的值域;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時(shí),判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(2)若直線與曲線相交所得的弦長(zhǎng)為,求的值.
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