Question

11．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，AB=AD，BC=CD．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求證：四邊形EFGH為矩形．

Answer 1

分析 （1）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，從而BD⊥平面AOC，由此能證明AC⊥BD．
（2）由已知得EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，F(xiàn)G$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，由此根據(jù)AC⊥BD，能證明四邊形EFGH為矩形．

解答 證明：（1）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，∴AC⊥BD．
（2）在空間四邊形ABCD中，
連結(jié)EF、FG、EH、HG，
∵E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，HG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AC$，EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，F(xiàn)G$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BD$，
又∵AC⊥BD，
∴EF$\underset{∥}{=}$HG，EH$\underset{∥}{=}$FG，且EF⊥EH，
∴四邊形EFGH為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查四邊形為矩形的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．