Question

3．已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，sin²B=2sinA•5sinC．
（I）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）設B=90°，且a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理可得b²=10ac，（I）當a=b時c=$\frac{10}$，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$計算可得；
（Ⅱ）由題意可得b²=10ac=a²+c²，解方程可得c值，代入S=$\frac{1}{2}$ac可得．

解答 解：∵sin²B=2sinA•5sinC，
∴由正弦定理可得b²=10ac，
（I）若a=b，則b²=10bc，解得c=$\frac{10}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）∵B=90°，a=$\sqrt{2}$，
∴b²=10ac=a²+c²，
∴10$\sqrt{2}$c=2+c²，解得c=5$\sqrt{2}$±4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ac=5±2$\sqrt{6}$

點評 本題考查正余弦定理，涉及三角形的面積公式，屬基礎題．