【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、．經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，把平面沿軸折起來，使軸正半軸和軸確定的半平面，與負半軸和軸所確定的半平面互相垂直．

①若，求異面直線和所成角的大��；

②若折疊后的周長為，求的大�。�

【答案】（1） （2）① ②或

【解析】

（1）橢圓的標準方程為：，，的周長是，從而得，于是可得，從而得橢圓標準方程；

（2）①求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出兩點坐標，折疊后建立如圖的空間直角坐標系，寫出此時各點坐標，求出的坐標，用向量數(shù)量積計算向量夾角可得異面直線所成的角．

②設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，設(shè)設(shè)折疊前，，則折疊后，，由韋達定理得，折疊前后兩個三角形周長之差為，在空間直角坐標系中，由兩點間距離公式得一等式，結(jié)合韋達定理所得可求得，從而得，得到傾斜角．

（1）設(shè)橢圓的標準方程為：，，

由橢圓的性質(zhì)可知：，，

則的周長，即，，

∴橢圓的標準方程：；

（2）①設(shè)直線：，

代入橢圓方程，解得：，，

則，，

折疊后主要是四點位置．擦去橢圓如下圖，建立空間直角坐標系，

在空間直角坐標系中，，，

，，，，

異面直線和所成角為，則，

∴異面直線和所成角的大小；

②折疊后對應(yīng)點記為，如圖

設(shè)折疊前，，則，，

由，，則，

設(shè)折疊前直線方程為，

則，整理得：，

則，，

則，，

∴，（1）

∴，

∴，（2）

∴由（1），（2）可知：，

∴，

∴，

即，

，則，

解得：，

故或．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為實數(shù)，函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù).

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，問是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間上有最小值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，，點為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于不同于點的兩個點、.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當時，求面積的最大值；

（3）若，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；

（3）若對任意實數(shù)、、，均存在以、、為三邊邊長的三角形，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某租車公司給出的財務(wù)報表如下：

年度

項目

2014年

（1-12月）

2015年

（1-12月）

2016年

（1-11月）

接單量（單）

14463272

40125125

60331996

油費（元）

214301962

581305364

653214963

平均每單油費（元）

14.82

14.49

平均每單里程（公里）

15

15

每公里油耗（元）

0.7

0.7

0.7

有投資者在研究上述報表時，發(fā)現(xiàn)租車公司有空駛情況，并給出空駛率的計算公式為.

（1）分別計算2014，2015年該公司的空駛率的值（精確到0.01%）；

（2）2016年該公司加強了流程管理，利用租車軟件，降低了空駛率并提高了平均每單里程，核算截止到11月30日，空駛率在2015年的基礎(chǔ)上降低了20個百分點，問2016年前11個月的平均每單油費和平均每單里程分別為多少？（分別精確到0.01元和0.01公里）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4－4：極坐標與參數(shù)方程

已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，曲線C： (α為參數(shù))，在以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標系，直線l：ρ.

(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；

(Ⅱ)曲線C上恰好存在三個不同的點到直線l的距離相等，分別求出這三個點的極坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童．此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻，公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益．據(jù)測算，首日參與活動人數(shù)為人，以后每天人數(shù)比前一天都增加，天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第天的水平，假設(shè)此項活動的啟動資金為萬元，每位捐步者每天可以使公司收益元（以下人數(shù)精確到人，收益精確到元）．

（1）求活動開始后第天的捐步人數(shù)，及前天公司的捐步總收益；

（2）活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取老、中、青三個年齡段人員進行問卷調(diào)查.已知抽取的樣本同時滿足以下三個條件:

（i）老年人的人數(shù)多于中年人的人數(shù);

（ii）中年人的人數(shù)多于青年人的人數(shù);

（iii）青年人的人數(shù)的兩倍多于老年人的人數(shù).

①若青年人的人數(shù)為4,則中年人的人數(shù)的最大值為___________.

②抽取的總?cè)藬?shù)的最小值為__________．

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【題目】《中央廣播電視總臺2019主持人大賽》是中央人民廣播電視總臺成立后推出的第一個電視大賽，由撒貝寧擔任主持人，康輝、董卿擔任點評嘉賓，敬一丹、魯健、朱迅、俞虹、李宏巖等位擔任專業(yè)評審.從2019年10月26日起，每周六在中央電視臺綜合頻道播出，某傳媒大學為了解大學生對主持人大賽的關(guān)注情況，分別在大一和大二兩個年級各隨機抽取了名大學生進行調(diào)查.下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生場均關(guān)注比賽的時間頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，并將場均關(guān)注比賽的時間不低于分鐘的學生稱為“賽迷”.

大一學生場均關(guān)注比賽時間的頻率分布直方圖大二學生場均關(guān)注比賽時間的頻數(shù)分布表

(1)將頻率視為概率，估計哪個年級的大學生是“賽迷”的概率大，請說明理由；

(2)已知抽到的名大一學生中有男生名，其中名為“賽迷”.試完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認為“賽迷”與性別有關(guān).

非“賽迷”

“賽迷”

合計

男

女

合計

附：，其中span>.

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