Question

20．已知拋物線x²=2y過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出拋物線x²=2y的焦點坐標，得過拋物線x²=2y的焦點的直線方程，將所得方程與拋物線x²=2y聯(lián)解，消去y得：x²-2kx-1=0，根據(jù)韋達定理得x₁x₂=-1．再用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，得拋物線過A點的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，同理得到在點B處切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，兩方程消去x，得兩切線交點Q縱坐標滿足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，可得點A的縱坐標是-$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵拋物線x²=2y的焦點為F（0，$\frac{1}{2}$）
∴設(shè)過拋物線x²=2y的焦點的直線為y=kx+$\frac{1}{2}$．
設(shè)直線與拋物線的交點分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得：x²-2kx-1=0，根據(jù)韋達定理，得x₁x₂=-1，
拋物線x²=2y，即二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得y'=x，
所以拋物線在點P處的切線斜率為k₁=x₁，
可得切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），化簡得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
同理，得到拋物線在點Q處切線方程為y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
兩方程消去x，得兩切線交點A縱坐標滿足y_A=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$，
∵x₁x₂=-1，
∴y_A=-$\frac{1}{2}$，即點A的縱坐標是-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題給出拋物線過焦點的弦，分別在兩個端點處的切線交于點A，求A點的縱坐標，考查了拋物線的基本概念和直線與拋物線的位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．