Question

12．經過橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左焦點F₁作直線l，與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|=$\frac{24}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的左焦點，通過直線的斜率是否存在，利用弦長公式求解直線的斜率，然后求解直線方程．

解答 （12分）解：橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左焦點F₁（-1，0），
當直線斜率不存在時，|AB|=3不符合題意；
當直線斜率存在時，設直線y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
消去y化簡可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
=$-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$\frac{24}{7}$，
∴由弦長公式得$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{24}{7}$，
解得k=±1，
直線方程為y=-x-1或y=x+1．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，弦長公式的應用，考查分析問題解決問題的能力．