Question

9．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞1）．
（1）求證函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）證明f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)的定義域是否對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而可得緒論；
（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分析法，可得函數(shù)的值域；
（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分析法，可得f（x）在R上是增函數(shù)．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$（a＞1）的定義域?yàn)镽，
且f（-x）=1-$\frac{2}{{a}^{-x}+1}$=1-$\frac{2{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=-1+$\frac{2{\;}^{\;}}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
解：（2）∵a^x+1＞1，
∴0＜$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜2，
∴-2＜-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜0，
∴-1＜1-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$＜1，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），
證明：（3）∵a＞1，
∴y=a^x在R上為增函數(shù)，
∴y=a^x+1在R上為增函數(shù)，
∴y=$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上為減函數(shù)，
∴y=-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上為增函數(shù)，
∴y=1$\frac{2}{{a}^{x}+1}$在R上為增函數(shù)，
即f（x）在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．