【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,都有成立,求的最大值.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時(shí),代入函數(shù),求 , 是函數(shù)的增區(qū)間, 是函數(shù)的減區(qū)間;(2)當(dāng)成立,整理為 ,設(shè) ,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,求整數(shù)的最大值.
試題解析:(1)解:由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
當(dāng)時(shí), ,
.
①當(dāng)或時(shí), , 單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減.
綜上, 的單調(diào)遞增區(qū)間為, ,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由,得,
整理得,
∵,∴.
令,則.
令,∵,∴.
∴在上遞增, ,
∴存在唯一的零點(diǎn).
∴,得.
當(dāng)時(shí), ,
∴在上遞減;
當(dāng)時(shí), ,
∴在上遞增.
∴,
要使對(duì)任意恒成立,只需.
又,且,∴的最大值為.
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