Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足

sin2a3cos2a6-sin2a6cos2a3

sin(a4+a5)

=1，公差d∈（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，求該數(shù)列首項a₁的取值范圍（　�。�

• A、（

  7π

  6

  ，

  4π

  3

  ）
• B、[

  7π

  6

  ，

  4π

  3

  ]
• C、（

  4π

  3

  ，

  3π

  2

  ）
• D、[

  4π

  3

  ，

  3π

  2

  ]

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出sin（a₃-a₆）=1，或sin（a₃+a₆）=0，由僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，推導(dǎo)出a1=-

17d

2

．由此能求出該數(shù)列首項a₁的取值范圍．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}滿足

sin2a3cos2a6-sin2a6cos2a3

sin(a4+a5)

=1，
∴（sina₃cosa₆-sina₆cosa₃）（sina₃cosa₆+sina₆cosa₃）
=sin（a₃+a₆）=（sina₃cosa₆+sina₆cosa₃），
∴sina₃cosa₆-sina₆cosa₃=1，
即sin（a₃-a₆）=1，或sin（a₃+a₆）=0（舍）
當(dāng)sin（a₃-a₆）=1時，
∵a₃-a₆=-3d∈（0，3），a₃-a₆=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴-3d=

π

2

，d=-

π

6

．
∵Sn=na1+

n(n-1)d

2

=

d

2

n2+（a₁-

d

2

）n，
且僅當(dāng)n=9時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴-

a1- d 2

2× d 2

=9，化為a1=-

17d

2

．
∴a1=-

17

2

×(-

π

6

)=

17π

12

．
故選：C．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、三角函數(shù)的平方關(guān)系和倍角公式、特殊角的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．