Question

已知函數(shù)f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]），若1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比數(shù)列．
（1）求λ的值；
（2）試探求函數(shù)g（x）=f（cos

x

2

）²的性質(zhì)．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程，可求λ的值；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比數(shù)列，
∴sin²α=f（sin

α

2

）²，
∴sin²α=λ（sin

α

2

）²[1-（sin

α

2

）²]，
∴λ=4；
（2）g（x）=f（cos

x

2

）²=4（cos

x

2

）²[1-（cos

x

2

）²]=sin²x=

1-cos2x

2

，
定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]，函數(shù)為偶函數(shù)，
函數(shù)在[kπ，kπ+

π

2

]上單調(diào)遞增，
在[kπ+

π

2

，kπ+π]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵．