Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，M是PA上的點(diǎn)，為正三角形，，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若，平面BPC，求證：點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC，可證，又由，可得平面PAC，即可得證；

（2）取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN和DN，首先可得，，所以，即可得到平面BPC．又由平面BPC，可得平面平面BPC．根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，即可得證；

（1）取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC，

∵為正三角形，∴．

∵，∴．

在平面內(nèi)，過(guò)O點(diǎn)垂直于BD的直線有且只有一條，

∴A，O，C三點(diǎn)共線，即．

∵，AC，平面PAC，，

∴平面PAC．∵平面MBD，

∴平面平面PAC．

（2）取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN和DN，

因?yàn)?/span>，且，所以

所以，即．

∵為正三角形，∴．

又DN，BC，AB共面，∴．

∵平面BPC，平面BPC，

∴平面BPC．

∵平面BPC，DN，平面DMN，

∴平面平面BPC．

∵平面DMN，∴平面BPC．

∵平面PAB，平面平面BPC=PB，

∴．

∵N是AB的中點(diǎn)，∴M為線段PA的中點(diǎn)．