Question

給出下列四個(gè)命題：
①直線2x-3y+1=0的一個(gè)方向向量是（2，-3）；
②若直線l過(guò)拋物線y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值

1

2

；
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線；
④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，則a=-1．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：直線與圓

分析：①可得直線的一個(gè)方向向量為（1，

2

3

），該向量的非零整數(shù)倍均為直線的方向向量，顯然（2，-3）不是；②拋物線y=2x²過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2p，正確；③可判兩圓相交，兩圓恰有2條公切線，正確；④由垂直可得4a²+（-1）（-a+3）=0，解得a=-1，或a=

3

4

，不能得出a=-1．

解答： 解：①可得直線的斜率k=

2

3

，故直線2x-3y+1=0的一個(gè)方向向量為（1，

2

3

），
該向量的非零整數(shù)倍均為直線的方向向量，顯然（2，-3）不是，故錯(cuò)誤；
②拋物線y=2x²過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2p=

1

2

，∴|AB|的最小值

1

2

，故正確；
③可得⊙C₁：x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），半徑為1，
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0的圓心為（0，-1），半徑為

2

，
兩圓心的距離d=

2

，小于兩半徑之和，故兩圓相交，
∴兩圓恰有2條公切線，故正確；
④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，
則4a²+（-1）（-a+3）=0，解得a=-1，或a=

3

4

，不能得出a=-1，故錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的方向向量和垂直關(guān)系，涉及圓的位置關(guān)系和拋物線的通徑，屬中檔題．