Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=120°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件推導(dǎo)出|PF₂|=2c-2a，|PF₁|=2c-4a，再由∠F₁PF₂=120°，利用余弦定理，推導(dǎo)出7a²+2c²-9ac=0，由此能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖，F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=120°，
且△F₁PF₂的三邊長成等差數(shù)列，
∵|PF₂|-|PF₁|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2c-2a，|PF₁|=2c-4a，
∵∠F₁PF₂=120°，
∴由余弦定理，得：
cos120°=

(2c-4a)2+(2c-2a)2-(2c)2

2(2c-2a)(2c-4a)

，
整理，得7a²+2c²-9ac=0，
∴2e²-9e+7=0，解得e=

7

2

或e=1（舍）．
故答案為：

7

2

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．