Question

【題目】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．

（Ⅰ）當時，

（i）求曲線在點處的切線方程；

（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）當時，求證：對任意的，且，有．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

(Ⅰ) (i)首先求得導函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；

(ii)首先求得的解析式，然后利用導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；

（Ⅱ）首先確定導函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.

(Ⅰ) (i) 當k=6時，，.可得，，

所以曲線在點處的切線方程為，即.

(ii) 依題意，.

從而可得，

整理可得：，

令，解得.

當x變化時，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；

g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.

（Ⅱ）證明：由，得.

對任意的，且，令，則

. ①

令.

當x>1時，，

由此可得在單調(diào)遞增，所以當t>1時，，即.

因為，，，

所以

. ②

由(Ⅰ)(ii)可知，當時，，即，

故 ③

由①②③可得.

所以，當時，任意的，且，有

.