Question

17．已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿著AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F(xiàn)，G分別為B₁D，AE的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求三棱錐E-ACB₁的體積；
（Ⅱ）證明：B₁E∥平面ACF；
（Ⅲ）證明：平面B₁GD⊥平面B₁DC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，AD∥EC且AD=EC，所以四邊形ADCE為平行四邊形，得到AE=DC，得到∠AEC=120°，首先求出△AEC的面積，進(jìn)一步求出高B₁G，利用體積公式可求；
（Ⅱ）連接ED交AC于O，連接OF，利用AEDC為菱形，且F為B₁D的中點(diǎn)得到FO∥B₁E，利用線面平行的判定定理可證；
（Ⅲ）證明：連結(jié)GD，則DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，判斷AE⊥平面B₁GD，利用面面垂直的判定定理可證．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，AD∥EC且AD=EC，所以四邊形ADCE為平行四邊形，
∴AE=DC=a，
∴△ABE為等邊三角形，
∴∠AEC=120°，
∴${S_{△AEC}}=\frac{1}{2}{a^2}sin120°=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$…（1分）
連結(jié)B₁G，則B₁G⊥AE，又平面B₁AE⊥平面AECD交線AE，
∴B₁G⊥平面AECD且${B_1}G=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$…（2分）
∴${V_{E-AC{B_1}}}={V_{{B_1}-AEC}}=\frac{1}{3}{B_1}G•{S_{△AEC}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=\frac{a^3}{8}$…（4分）
（Ⅱ）證明：連接ED交AC于O，連接OF，
∵AEDC為菱形，且F為B₁D的中點(diǎn)，
∴FO∥B₁E，…（6分）
又B₁E?面ACF，F(xiàn)O?平面ACF，
∴B₁E∥平面ACF   …（8分）
（Ⅲ）證明：連結(jié)GD，則DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，
∴AE⊥平面B₁GD．…（10分）
又AE∥DC，∴DC⊥平面B₁GD，又DC?平面B₁DC
∴平面B₁GD⊥平面B₁DC．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了三棱錐的體積公式的運(yùn)用以及線面平行、面面垂直的判定定理的運(yùn)用．