Question

如圖，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC為⊙O的直徑．
（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值；
（2）若⊙O的半徑為

3

2

，AD與EC交于點M，且E、D為弧AC的三等分點，求MD的長．

Answer 1

考點：弦切角,與圓有關的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連接OA，OB，OC，OD，OE，圓心角和圓周角的關系求解．
（Ⅱ）連接OM和CD，∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，由已知條件推導出OA=

3

2

，AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．由此能求出MD的長．

解答： 解：（Ⅰ）連接OA，OB，OC，OD，OE，
則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=

1

2

（∠COD+∠DOE+∠EOA+∠AOB+∠BOC）
=

1

2

×360°=180°．（5分）
（Ⅱ）連接OM和CD，∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，又E、D為AC的三等分點，
∴∠A=∠C=

1

2

∠EOA=

1

2

×

1

3

×180°=30°．（7分）
∴OM⊥AC．∵⊙O的半徑為

3

2

，即OA=

3

2

，
∴AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．
在Rt△ADC中，AD=AC•cosA=2×

3

2

×

3

2

=

3

2

．
則MD=AD-AM=

1

2

．（10分）

點評：本題考查五個角的和的求法，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意圓心角和圓周角的關系的合理運用．