Question

如圖，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC為⊙O的直徑．
（1）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值；
（2）若⊙O的半徑為

3

2

，AD與EC交于點(diǎn)M，且E、D為弧AC的三等分點(diǎn)，求MD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：弦切角,與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（Ⅰ）連接OA，OB，OC，OD，OE，圓心角和圓周角的關(guān)系求解．
（Ⅱ）連接OM和CD，∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，由已知條件推導(dǎo)出OA=

3

2

，AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．由此能求出MD的長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）連接OA，OB，OC，OD，OE，
則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=

1

2

（∠COD+∠DOE+∠EOA+∠AOB+∠BOC）
=

1

2

×360°=180°．（5分）
（Ⅱ）連接OM和CD，∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，又E、D為AC的三等分點(diǎn)，
∴∠A=∠C=

1

2

∠EOA=

1

2

×

1

3

×180°=30°．（7分）
∴OM⊥AC．∵⊙O的半徑為

3

2

，即OA=

3

2

，
∴AM=

OA

cosA

=

OA

cos30°

=1．
在Rt△ADC中，AD=AC•cosA=2×

3

2

×

3

2

=

3

2

．
則MD=AD-AM=

1

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查五個(gè)角的和的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓心角和圓周角的關(guān)系的合理運(yùn)用．