Question

如圖，曲線Γ：x²+y²=1（x≥0，y≥0）與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在曲線Γ上，∠AOP=α．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

5

，

4

5

），求cos²

α

2

-sin²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（α）=sinα+

3

cosα的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：超幾何分布的應(yīng)用,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）依題意可知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，再將函數(shù)化簡，代入即可求解；
（Ⅱ）函數(shù)f（α）=sinα+

3

cosα=2sin(α+

π

3

)，結(jié)合α的范圍，即可求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）依題意可知，cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，（2分）
∴cos2

α

2

-sin2

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

=cosα+sinα（5分）
=

3

5

+

4

5

=

7

5

．（6分）
（Ⅱ）f(α)=sinα+

3

cosα=2(sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

)=2sin(α+

π

3

)（8分）
依題意可知，0≤α≤

π

2

．（10分）
∴

π

3

≤α+

π

3

≤

5π

6

，∴

1

2

≤sin(α+

π

3

)≤1，（12分）
∴1≤2sin(α+

π

3

)≤2，
∴函數(shù)f（α）的值域為[1，2]．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．