Question

設(shè)x∈（0，+∞），將函數(shù)f（x）=1+2sin²（x-

π

4

）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n+1=2b_n，且b₂=4，求數(shù)列{b_n}的通項公式以及數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設(shè)知f′（x）=4sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）=-2cos2x，由f′（x）=-2cos2x=0，得x=

π

4

+kπ，由此能求出a_n=π(n-

3

4

)．（n∈N^*）．
（2）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而得到bn=2n．進而求出a_n•b_n=π(n-

3

4

)•2n．由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）f（x）=1+2sin²（x-

π

4

），
∴f′（x）=4sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

）
=2sin（2x-

π

2

）
=-2cos2x，
由f′（x）=-2cos2x=0，得2x=

π

2

+2kπ，
∴x=

π

4

+kπ，
∵將函數(shù)f（x）=1+2sin²（x-

π

4

）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)
的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}（n∈N^*），
∴{a_n}是首項為

π

4

，公差為π的等差數(shù)列，
∴an=

π

4

+(n-1)π=π(n-

3

4

)．（n∈N^*）．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足：b_n+1=2b_n，且b₂=4，
∴

bn+1

bn

=2，b1=

4

2

=2，
∴數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn=2n．
∴a_n•b_n=π(n-

3

4

)•2n．
∴Sn=

π

4

•2+

5π

4

•22+

9π

4

•23+…+π(n-

3

4

)•2n，①
2S_n=

π

4

•22+

5π

4

•23+

9π

4

•24+…+π(n-

3

4

)•2n+1，②
∴-S_n=

π

2

+π(22+23+…+2n)-π(n-

3

4

)•2n+1
=

π

2

+π•

4(1-2n-1)

1-2

-π(n-

3

4

)•2n+1
=-

7

2

π-π（n-

7

4

）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=

7

2

π+π(n-

7

4

)•2n+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．