Question

關(guān)于正四面體ABCD，有以下命題：
①正三棱錐都是正四面體；
②若E，F(xiàn)分別為△ABC，△BCD的中心，則EF∥AD；
③AB⊥CD；
④將等差數(shù)列的任意連續(xù)四項(xiàng)分別寫在四面體的四個面上，則任一面上的數(shù)字都不可能等于另三個面上的數(shù)字之和；
⑤從正四面體的六條棱中任選兩條，則它們互相垂直的概率為

1

5

．
其中正確的命題有

 

（填上所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①正三棱錐的側(cè)棱與底面棱長不一定相等，因此不一定是正四面體；
②若E，F(xiàn)分別為△ABC，△BCD的中心，如圖1，取BC的中點(diǎn)，連接DM，AM，利用中心和重心的性質(zhì)可得：

AE

EM

=

DF

FM

=

2

1

，即可得出EF∥AD；
③如圖2，設(shè)O點(diǎn)為底面ABC的中心，則DO⊥底面ABC，可得DO⊥AB，延長CO交AB于點(diǎn)N，連接DN，則CN⊥AB，即可判斷出；
④將等差數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)四項(xiàng)分別寫在四面體的四個面上，可得a₁+a₄=a₂+a₃，可得a₁+a₃+a₄=a₂+2a₃，若任一面上的數(shù)字都不可能等于另三個面上的數(shù)字之和，則2a₃=0，同理可得a_i=0（i=1，2，3，4），因此可知：這個等差數(shù)列除非是每一項(xiàng)都為0，否則不成立；
⑤從正四面體的六條棱中任選兩條，利用③的結(jié)論可得，則它們互相垂直的概率p=

3

C 2 6

．

解答： 解：①正三棱錐的側(cè)棱與底面棱長不一定相等，因此不一定是正四面體，不正確；
②若E，F(xiàn)分別為△ABC，△BCD的中心，如圖1，取BC的中點(diǎn)，連接DM，AM，則

AE

EM

=

DF

FM

=

2

1

，因此EF∥AD，正確；
③如圖2，設(shè)O點(diǎn)為底面ABC的中心，則DO⊥底面ABC，∴DO⊥AB，延長CO交AB于點(diǎn)N，連接DN，則CN⊥AB，∴AB⊥平面CDN，
∴AB⊥CD；
④將等差數(shù)列{a_n}的任意連續(xù)四項(xiàng)分別寫在四面體的四個面上，可得a₁+a₄=a₂+a₃，可得a₁+a₃+a₄=a₂+2a₃，若任一面上的數(shù)字都不可能等于另三個面上的數(shù)字之和，則2a₃=0，同理可得a_i=0（i=1，2，3，4），因此可知：這個等差數(shù)列除非是每一項(xiàng)都為0，否則不成立；
⑤從正四面體的六條棱中任選兩條，利用③的結(jié)論可得：則它們互相垂直的概率p=

3

C 2 6

=

1

5

，正確．
綜上可知：只有②③⑤正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評：本題綜合考查了正四面體的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、古典概率，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．