Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，BC＝CC1＝4，D是A1C1中點．

(1)求證：A1B∥平面B1CD；

(2)當三棱錐C－B1C1D體積最大時，求點B到平面B1CD的距離．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）連接交于，連接，利用平行四邊形性質(zhì)、三角形中位線定理可得： ，再利用線面平行的判定定理即可證明.（2）設點到平面的距離為，可得，而故點三棱錐體積最大時， ，即平面，由（1）知，

可得到平面的距離與到平面的距離相等，設到平面的距離為，由，利用體積變換，即可求出.

試題解析：

(1)證明：連接BC1交B1C于O，連接DO.在三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形BB1C1C為平行四邊形，則BO＝OC1，又D是A1C1中點，∴DO∥A1B，而DO平面B1CD，A1B平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD.

(2)設點C到平面A1B1C1的距離是h，則VC－B1C1D＝S△B1C1Dh＝h，而h≤CC1＝4，故當三棱錐C－B1C1D體積最大時，h＝CC1＝4，即CC1⊥平面A1B1C1.(6分)

由(1)知BO＝OC1，所以B到平面B1CD的距離與C1到平面B1CD的距離相等．

∵CC1⊥平面A1B1C1，B1D平面A1B1C1，

∴CC1⊥B1D.

∵△ABC是等邊三角形，D是A1C1中點，

∴A1C1⊥B1D，又CC1∩A1C1＝C1，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，

∴B1D⊥平面AA1C1C，∴B1D⊥CD，由計算得：B1D＝2，CD＝2，所以S△B1CD＝2.

設C1到平面B1CD的距離為h′，由VC－B1C1D＝VC1－B1CD，得×4＝S△B1CDh′h′＝，所以B到平面B1CD的距離是.