Question

已知函數(shù)f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值和f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式可得

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），再利用降冪公式可求得f（x）=2cos（2x-

π

3

），于是可求f（

π

3

）的值和f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得函數(shù)f（x）=2cos（2x-

π

3

）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²
=2-4sin2(x-

π

6

)
=2-2（1-cos（2x-

π

3

））
=2cos（2x-

π

3

），
∴f（

π

3

）=2cos

π

3

=1；
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
∴-1≤2cos（2x-

π

3

）≤2，
∴函數(shù)f（x）=2cos（2x-

π

3

）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值為2，最小值為-1．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，考查輔助角公式與降冪公式的綜合應(yīng)用，突出考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．