Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，已知a₁=1，a₂=2，a₃=3，且（4n-3）S_n+1-（4n+5）S_n=αn+β（n∈N^*），其中α，β為常數(shù)．
（1）求α，β的值；
（2）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）設(shè)b_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求和

(a2+a3)

b1(β)a1

+

(a3+a4)

b2(β)a2

+…+

(an+1+an+2)

bn(β)an

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件令n=1，得α+β=-6，令n=2，得2α+β=-9，由此求出α=β=-3．
（2）（4n-3）S_n+1-（4n+5）S_n=-3n-3，推導(dǎo)出（8n+10）a_n+2=（4n+5）a_n+1+（4n+5）a_n+3，由此能證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（3）由a_n=n，得b_n=

n(n+1)(n+2)

3

，cn=

(an+1+an+2)

bn(β)an

=

1

2

•[

1

n(n+1)(-3)n-2

-

1

(n+1)(n+2)(-3)n-1

]，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出

(a2+a3)

b1(β)a1

+

(a3+a4)

b2(β)a2

+…+

(an+1+an+2)

bn(β)an

的和．

解答： （1）解：∵（4n-3）S_n+1-（4n+5）S_n=αn+β（n∈N^*），
∴令n=1，則S₂-9S₁=α+β，即α+β=-6，
令n=2，則5S₃-13S₂=2α+β，即2α+β=-9，
解得α=β=-3．
（2）證明：∵（4n-3）S_n+1-（4n+5）S_n=-3n-3，
∴（4n-3）（S_n+1-S_n）=8S_n-3n-3，
∴（4n-3）a_n+1=8S_n-3n-3，①
∴（4n+1）a_n+2=8S_n+1-3（n+1）-3，②
②-①，得（4n+1）a_n+2=（4n+5）a_n+1-3，③
∴（4n+5）a_n+3=（4n+9）a_n+2-3，④
④-③，得（4n+5）a_n+3-（4n+1）a_n+2=（4n+9）a_n+2-（4n+5）a_n+1，
∴（8n+10）a_n+2=（4n+5）a_n+1+（4n+5）a_n+3，
即2a_n+2=a_n+1+a_n+3n，
且已知2a₂=a₁+a₃，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（3）解：∵a₁=1，a₂=2，a₃=3，{a_n}為等差數(shù)列，
∴a_n=n，
∴b_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=1•2+2•3+…+n（n+1）
=（1²+2²+3²+…+n²）+（1+2+3+…+n）
=

n(n+1)(2n+1)

6

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)(n+2)

3

，
cn=

(an+1+an+2)

bn(β)an

=

2n+3

n(n+1)(n+2) 3 •(-3)n

=

-(2n+3)

n(n+1)(n+2)(-3)n-1

=

1

2

•[

1

n(n+1)(-3)n-2

-

1

(n+1)(n+2)(-3)n-1

]，
∴

(a2+a3)

b1(β)a1

+

(a3+a4)

b2(β)a2

+…+

(an+1+an+2)

bn(β)an

=

1

2

[（

1

1•2•(-3)-1

-

1

2•3•(-3)0

）+（

1

2•3•(-3)0

-

1

3•4•(-3)

）+…+（

1

n(n+1)(-3)n-2

-

1

(n+1)(n+2)(-3)n-1

）]
=

1

2

[

1

1•2•(-3)-1

-

1

(n+1)(n+2)(-3)n-1

]
=-

3

4

-

1

2(n+1)(n+2)(-3)n-1

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．