Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)等式關(guān)系進(jìn)行證明f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）．

解答 解：（1）∵1+x²≥1恒成立，∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞）；
（2）∵f（-x）=$\frac{1-（-x）^{2}}{1+（-x）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-f（x）．
即f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）成立．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域以及函數(shù)奇偶性的判斷，比較基礎(chǔ)．