Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)且時(shí).

①若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證：；

②若對(duì)任意的，都有成立，求正實(shí)數(shù)t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①證明見解析；②e.

【解析】

（1）將代入，求導(dǎo)后分類討論即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）①將代入，由題意可得，，表示出，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得證；②分，及兩種情況討論得解．

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，.

（2），

①因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），故，而，故.

，是方程的兩根，

所以.則.

設(shè)（），.

所以

②當(dāng).由①的極大值，

又的極小值（）隨著的增大而減少，要使t取最大值.

則需的極小值，

又，所以，

得，.

當(dāng).在上是增函數(shù)，，所以.

綜上t的最大值為e.