Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin2

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

-

3

，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)計(jì)算函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x值即可．

解答： 解：（1）解：函數(shù)f（x）可化簡(jiǎn)為：
2

3

sin2

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

-

3

=2

3

×

1-cosx

2

+sinx-

3

=sinx-

3

cosx．
即：f(x)=2sin(x-

π

3

)，
由2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，可得

5π

6

+2kπ≤x≤

11π

6

+2kπ；k∈Z
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

5π

6

+2kπ，

11π

6

+2kπ]，k∈Z；
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，得x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]．
故有：f(x)max=f(

π

2

)=1，f(x)min=f(-

π

6

)=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．