Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）令，討論的單調(diào)性.

（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（ 為自然對數(shù)的底數(shù)， …）.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）當時，先對函數(shù)求導(dǎo)，求得斜率，結(jié)合切點坐標，利用點斜式得到切線方程.（2）求出的表達式，對求得，然后將分成四類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）將表達式代入原不等式并化簡，構(gòu)造函數(shù)設(shè)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，令這個最小值大于零，求得的取值范圍.

解：（1），，，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2），定義域為，

，

①當時，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；

②當時，當或時，，在，上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；

③當時，在單調(diào)遞增；

④當時，當或時，，在，上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減.

綜上，當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（3）當時，，即恒成立，

設(shè)，，

顯然在上單調(diào)遞增，且，所以當時，；當時，.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ，所以，

所以的取值范圍為.