Question

【題目】如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（Ⅰ）求證：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中計(jì)算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）延長(zhǎng)， ， 相交于一點(diǎn)，如圖所示．

因?yàn)槠矫?/span>平面，且，所以平面，因此．

又因?yàn)?/span>， ， ，

所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則．

所以平面．

（Ⅱ）方法一：過點(diǎn)作于Q，連結(jié)．

因?yàn)?/span>平面，所以，則平面，所以．

所以是二面角的平面角．

在中， ， ，得．

在中， ， ，得．

所以二面角的平面角的余弦值為．

方法二：如圖，延長(zhǎng)， ， 相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形．

取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以， 平面．

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線， 的方向?yàn)?/span>， 的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得， ， ， ， ， ．

因此， ， ， ．

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．

由，得，取；

由，得，取．

于是， ．

所以，二面角的平面角的余弦值為．