Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）設(shè)P為AC的中點，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）在平面OAB內(nèi)作ONOA交AB于N，連接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。


在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q為AN的中點。在△CAN中，分別為AC,AN的中點，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.
（Ⅱ）連結(jié)PN,PO.
由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。
又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影。
在等腰Rt△COA中，P為AC的中點，ACOP。
根據(jù)三垂線定理，知：ACNP.
為二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中，OC="OA=1," OP=。
在Rt△AON中，ON=OA=，
在Rt△PON中，PN==,
cos。
解法二:
(Ⅰ)取O為坐標原點，以O(shè)A,OC所在的直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖所示）。
則A(1,0,0),C（0,0,1），B。
。。
又由已知，可得
又..
.故。
（Ⅱ）記平面ABC的法向量，則由n,n，且=（1,0，-1）。
得故可取。
又平面OAC的法向量為e=（0,1,0）。

二面角O-AC-B的平面角是銳角，記為，則。