【題目】給定數(shù)列,若數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是封閉數(shù)列”.

1)已知數(shù)列的通項公式為,試判斷是否為封閉數(shù)列,并說明理由;

2)已知數(shù)列滿足,設是該數(shù)列的前項和,試問:是否存在這樣的封閉數(shù)列,使得對任意都有,且,若存在,求數(shù)列的首項的所有取值;若不存在,說明理由;

3)證明等差數(shù)列成為封閉數(shù)列的充要條件是:存在整數(shù),使

【答案】1)不是;見解析(2;(3)證明見解析

【解析】

1)數(shù)列不為封閉數(shù)列.由2時,,可得,,可得,即可得出結(jié)論.

2)數(shù)列滿足,可得數(shù)列為等差數(shù)列,公差為2.又是“封閉數(shù)列”,得:對任意,必存在使,得,故是偶數(shù),又由已知,,故,可得

3)要證明充分必要條件的問題,本題需要從兩個方面來證明,一是證明充分性,二是證明必要性,證明時注意所取得數(shù)列的項來驗證時,項要具有一般性.

解:(1)數(shù)列不為封閉數(shù)列.

,2時,,,

可得,∴,因此不是封閉數(shù)列.

2)數(shù)列滿足,

∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列,則

是“封閉數(shù)列”,

∴對任意,必存在使,

,故是偶數(shù),

又由已知,,故,可得:

可得,

經(jīng)過驗證可得:

3)證明:(必要性)若存在整數(shù),使,則任取等差數(shù)列的兩項,

于是

由于,,為正整數(shù),,

是封閉數(shù)列.

(充分性)任取等差數(shù)列的兩項,若存在使,

故存在,使,

下面證明

時,顯然成立.

,若,則取,對不同的兩項,存在使

,這與矛盾,

故存在整數(shù),使

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A.2B.3C.4D.5

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