Question

19．在直角坐標系xOy中，兩坐標系取相同的長度單位，將曲線$\left\{\begin{array}{l}x=5cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{5}$（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C；以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為$ρsin（α-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，與x軸交于點P，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）利用曲線橫坐標的變換，將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ+2\\ y=sinθ+3\end{array}\right.$，消去θ得曲線C的普通方程．
（II）設(shè)直線l直角坐標方程是y=x+2，求出直線l參數(shù)方程，代入曲線C求出t₁t₂=24．得到結(jié)果．

解答 解：（I）曲線$\left\{\begin{array}{l}x=5cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{5}$，得到$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，
將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ+2\\ y=sinθ+3\end{array}\right.$，
消去θ得曲線C的普通方程是（x-2）²+（y-3）²=1；…（5分）
（II）設(shè)直線l直角坐標方程是y=x+2，∴P（-2，0），
直線l傾斜角是45°，參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C得${t^2}-7\sqrt{2}t+24=0$，
△=2＞0，t₁t₂=24，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=24．…（10分）

點評 本題考查曲線的參數(shù)方程以及極坐標方程的應(yīng)用，考查計算能力．