Question

已知圓C1：(x+1)2+y2=16，點C₂（1，0），點Q在圓C₁上運動，QC₂的垂直平分線交QC₁于點H．
（Ⅰ）求動點H的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若曲線C與x軸交于A、B兩點，過點C₁的直線交曲線C于M、N兩點，記△ABM與△ABN的面積分別為S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由QC₂的垂直平分線交QC₁于H，可得|HQ|=|HC₂|，從而|HC₂|+|HC₁|=|HC₁|+|HQ|=|QC₁|=4＞|C₁C₂|=2，可得動點H的軌跡是點C₁，C₂為焦點的橢圓，由此能夠求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，表示出|S₁-S₂|，利用基本不等式可求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵QC₂的垂直平分線交QC₁于H，
∴|HQ|=|HC₂|，
∴|HC₂|+|HC₁|=|HC₁|+|HQ|=|QC₁|=4＞|C₁C₂|=2，
∴動點H的軌跡是點C₁，C₂為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴橢圓的標準方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）當直線斜率不存在時，直線方程為x=-1，此時△ABM與△ABN的面積相等，|S₁-S₂|=0；
當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴|S₁-S₂|=2|y₁+y₂|=2|k（x₁+x₂）+2k|=

12|k|

3+4k2

∵k≠0，∴|S₁-S₂|=

12

3 |k| +4|k|

≤

12

2 12

=

3

，
當且僅當k=±

3

2

時等號成立，故|S₁-S₂|的最大值

3

．

點評：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，考查韋達定理，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．