【題目】在展開式的全體系數(shù)中，有多少個7的倍數(shù)？

【答案】1722

【解析】

將問題一般化.

先證明一個引理.

引理 設(shè)為正整數(shù)，為素?cái)?shù)，.若在的進(jìn)制表達(dá)式的各位數(shù)碼中，共有個1，個2，…，個，則在展開式的各系數(shù)中，的倍數(shù)的個數(shù)為.

證明 先求集合中與互素的元素個數(shù).

記.

因?yàn)?/span>為素?cái)?shù)，，所以，.而，

故，

其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

注意到，對每個均有.

故. ①

設(shè)，，其中，、、.

由式①依次得，.

對于上面每一式，可以取0，1，…，共個值，故在集合中，使得的有個.

若的進(jìn)制表示的各位數(shù)碼中，共有個1，個2，…，個，則，即集合中有個數(shù)與互素.

從而，在集合中有個數(shù)為的倍數(shù).

回到原題.

由2015的七進(jìn)制表達(dá)式為，其數(shù)碼中有一個5，兩個6，則在展開式的各系數(shù)中，7的倍數(shù)有（個）.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過點(diǎn)作直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、.當(dāng)的面積在上變化時，直線條數(shù)的集合為______.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的恒有，已知當(dāng)時，，則

①是函數(shù)的一個周期；

②函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

③函數(shù)的最大值是，最小值是；

④是函數(shù)的一個對稱軸；

其中所有正確命題的序號是______.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的所有棱長均為2，底面側(cè)面， ， 為的中點(diǎn)， .

（1）證明： .

（2）若是棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，曲線：．與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)．、分別是曲線與線段上的動點(diǎn)．

（1）用表示點(diǎn)到點(diǎn)距離；

（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)在直線，求的面積；

（3）設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）若與曲線相切，且與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，求以為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，直線、、與邊、、分別交于點(diǎn)、、．設(shè)分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、，分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、，分別以、為直徑的兩圓交于點(diǎn)、．證明：、、、、、六點(diǎn)共圓．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（ ）

A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案