【題目】在展開式的全體系數(shù)中，有多少個7的倍數(shù)？

【答案】1722

【解析】

將問題一般化.

先證明一個引理.

引理 設為正整數(shù)，為素數(shù)，.若在的進制表達式的各位數(shù)碼中，共有個1，個2，…，個，則在展開式的各系數(shù)中，的倍數(shù)的個數(shù)為.

證明 先求集合中與互素的元素個數(shù).

記.

因為為素數(shù)，，所以，.而，

故，

其中，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).

注意到，對每個均有.

故. ①

設，，其中，、、.

由式①依次得，.

對于上面每一式，可以取0，1，…，共個值，故在集合中，使得的有個.

若的進制表示的各位數(shù)碼中，共有個1，個2，…，個，則，即集合中有個數(shù)與互素.

從而，在集合中有個數(shù)為的倍數(shù).

回到原題.

由2015的七進制表達式為，其數(shù)碼中有一個5，兩個6，則在展開式的各系數(shù)中，7的倍數(shù)有（個）.

練習冊系列答案
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①是函數(shù)的一個周期；

②函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

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其中所有正確命題的序號是______.

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A. 種 B. 種 C. 種 D. 種

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