Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+3-b（a≠0，b＞0）在[0，3]上有最小值2，最大值17，函數(shù)g（x）=．

（l）求函數(shù)g（x）的解析式；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，都有g（m2+2）≥g（2|m|+l）；

（3）若方程g（|log2x-1|）+3k（-1）=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）只需要利用好所給的在區(qū)間[0，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的兩個(gè)未知數(shù)；

（2）可判斷g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0，即可判定；

（3）可直接對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)、換元結(jié)合函數(shù)圖象即可獲得問(wèn)題的解答．

解：（1）∵f（x）=ax2+2ax+3-b=a（x+1）2+3-a-b，故拋物線的對(duì)稱軸為x=-1．

①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，∴f（x）在[0，3]上為增函數(shù)．

f（x）min=f（0）=3-b=2，f（x）max=f（3）=15a-b+3=17．

∴a=1，b=1

②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，f（x）在[0，3]上為減函數(shù)．

f（x）min=f（3）=15a-b+3=2，f（x）max=f（0）=3-b=17．

∴a=-1，b=-14．又b＞0，∴a=1，b=1符合題意

∴f（x）=x2+2x+2．g（x）=x-+2．

（2）證明：任取x2＞x1＞0，則g（x2）-g（x1）=（

∵x2-x1＞0，x1x2＞0．∴g（x2）-g（x1）＞0，．

故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0；

∴m2+2≥（2|m|+l）>0．∴g（m2+2）≥g（2|m|+l）．

（3）令t=|log2x-1|，則方程為g（t）+3k（-1）=0，即t-+2+3k（-1）=0

可化為t2+（2-3k）t+3k-2=0（△）．

因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí)，t=|log2x-1|有兩個(gè)x,

當(dāng)t=0時(shí)，t=|log2x-1|有一個(gè)x，

當(dāng)t<0時(shí)，t=|log2x-1|無(wú)解

當(dāng)原方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解時(shí)，關(guān)于t的（△）方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根．

∴，即∴k＞2．

故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（2，+∞）．