Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面ACF；

（2）求BE與平面ACE的所成角的正切值；

（3）在線段EO上是否存在點(diǎn)G，使CG平面BDE ?若存在，求出EG：EO的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）；（3）1：2.

【解析】

（1）連接OF,根據(jù)三角形中位線得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（2）先根據(jù)線面垂直得線面角，再解直角三角形得結(jié)果，（3）取EO中點(diǎn)G，利用面面垂直判定與性質(zhì)定理證得結(jié)果.

(1)連接OF.由ABCD是正方形可知，點(diǎn)O為BD中點(diǎn).

又F為BE的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥DE.

又OF面ACF，DE面ACF，

所以DE∥平面ACF.

(2)證明：由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，

∴EC⊥BD，

由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，

又AC∩EC=C,AC、E平面ACE,

∴BD⊥平面ACE，即就是所求角，

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故所正切值為.

(3)在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE.理由如下：

取EO中點(diǎn)G，連接CG，

在四棱錐EABCD中,AB=2√CE,CO=2√2AB=CE，

∴CG⊥EO.

由(2)可知，BD⊥平面ACE，而BD平面BDE，

∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，

∵CG⊥EO，CG平面ACE，

∴CG⊥平面BDE

故在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE.

由G為EO中點(diǎn),得EG：EO=1：2.